miércoles, 2 de diciembre de 2015

Eratóstenes


MEDICIÓN DEL RADIO DE LA TIERRA: ERATÓSTENES



INTRODUCCIÓN

En esta entrada vamos a calcular el radio de la tierra suponiendo que no sabemos los datos que se saben actualmente, y solamente utilizando sombras en distintos lugares del planeta; así es como lo hizo Eratóstenes.

¿Cómo consiguió calcular esto Eratóstenes cuando no había instrumentos que facilitarán estos cálculos? Os preguntaréis. Pues aquí esta la respuesta;

Estando en la Biblioteca de Alejandría, Eratóstenes encontró un informe de observaciones sobre Siena, ciudad situada a unos 800 Km al sur de Alejandría, en el que se decía que el día del solsticio de verano (21 de junio) a mediodía, los objetos no producían sombra y en el fondo de los pozos podía verse la luz del sol.

Eratóstenes observó que, en Alejandría, el mismo día y a la misma hora no se producía este mismo hecho; los objetos producían sombras y en fondo de los pozos no se veían los rayos del Sol. Asumió de manera correcta que el Sol se encontraba a gran distancia y que sus rayos, al alcanzar la tierra, lo hacían en forma prácticamente paralela. Esto ratificaba su idea de que la superficie de la Tierra era curva pues, de haber sido plana, no se hubiese producido esta diferencia entre las dos ciudades. El siguiente paso fue medir en Alejandría el ángulo que formaban las sombras en los objetos, que por construcción es igual al ángulo cuyo vértice está en el centro de la Tierra, como podemos ver en el gráfico de arriba. Este ángulo resulto ser de 7º 12', que unido al hecho conocido de que la distancia entre las dos ciudades era de 5.000 estadios, dieron como conclusión que la circunferencia de la Tierra medía 360 · 5000 / 7'2; es decir, 250.000 estadios. Aunque no se tienen datos exactos, se sabe que el estadio equivale a unos 160 m (actualmente se suele tomar 158 m). Por tanto, 250.000 estadios son aproximadamente 250.000 · 160/1000 = 40.000 km Esto equivale a un radio de 6.366 km o 6.286 si tomamos los 158 m, contra los 6.371 km que son los admitidos hoy en día.

Las únicas herramientas de Eratóstenes fueron palos, ojos, pies y cerebro, y además el gusto por la experimentación. Con estos elementos dedujo la circunferencia de la Tierra con un error bastante pequeño, lo que constituye un logro notable para el año en que tuvo lugar.

PASO A PASO 
        
Nosotros vamos a realizar hoy la misma práctica que realizó Eratóstenes para comprobar que los cálculos que realizó eran ciertos. 

En primer lugar tomamos las medidas de las sombras que proyectaba un gnomon y calculamos cuál era la mínima medida de ésta. Obtuvimos que el gnomon medía 78,25 cm y la sombra 67,3 cm. Para realizar este proceso apuntamos hasta dónde llegaba la sombra del gnomon cada cinco minutos, y para saber cuál era la menor medida, haciendo centro en el gnomon, cortamos la trayectoria de la sombra en dos puntos y realizamos la mediatriz de segmento formado. El punto en el que la mediatriz cortaba la trayectoria debería ser la mínima medida de la sombra. 




Una vez obtenida la logitud de la sombra, procedimos ha realizar los cálculos:

Para ayudarnos a realizar los cálculos escogimos otro colegio que hubiese tomado las medidas el día 21 de Septiembre a más de 400 km de distancia.

Centro Educacional Nosso Mundo:

- Latitud: 22º 53' 0'' S 
- Longitud: 43º 19' 0'' O
- Distancia al Ecuador: 2448,64 km (nos hemos ayudado de la página http://www.tutiempo.net/p/distancias/calcular_distancias.html que calcula la distancia entre dos puntos de la Tierra)
- Gnomon: 90 cm
- Sombra: 38 cm 

Colegio Base:

- Latitud: 40º 30' 36'' N
- Longitud: 3º 36' 40'' O
- Distancia al Ecuador: 4452,08 km
- Gnomon: 78,25 cm
- Sombra: 67,3 cm

CÁLCULOS

Para realizar el experimento los dos puntos debería estar situados sobre el mismo meridiano, por lo tanto sumamos las distancias al Ecuador de ambos para suponer cual sería la distancia entre ambos puntos si se encontrasen sobre el mismo meridiano.

2448,64 km + 4452,08 km = 6901,72 km


L = 6901,72 km

α2 = α3
α4 = 180º - α2

α + 180º - α2 + α1 = 180º
α - α2 + α1 = 0
α = α2 - α1

tg α1 = cat. opuesto/ cat. adyacente = 67,3 cm / 78,25 cm = 0,86
α1 = arctg · 0,86 = 40,69º

tg α2 = cat. opuesto/ cat. adyacente = 38 cm / 90 cm = 0,42
α2 = arctg · 0,42 = 22,78º

α = α2 - α1
α = 22,78º + 40,69º
α = 63,47º

Sabiendo el ángulo que le corresponde al arco de la distancia entre los dos puntos podemos averiguar el perímetro de la Tierra a través de una regla de tres:

360º x

63,47º 6901,72 km

x = (360º · 6901,72 km) / 63,47º

x = 39146,36 km 

Una vez averiguado el perímetro podemos deducir el radio despejando de la ecuación siguiente:

2 · pi · r = 39146,36 km 

r = 39146,36 km/ 2 · pi

r = 6233,49 km


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